Betrachtung von endgespeisten Drahtantennen.

  

   

Gegeben ist ein Draht mit einer Länge ld und einem Durchmesser d. Dieser Draht soll endgespeist werden mit einem Sender, dessen Generator mit 52 Ohm Ausgang betrieben wird. P ist die Sendeleistung.

Zuerst ermitteln wir Lambda des Drahtes.

VK ist der Verkürzungsfaktor. Er soll als   0.955   angenommen werden.

Bei einem Vertikalstrahler ist die wirksame Länge lw zu bestimmen                                  (F0)       

und dann auch mit lw anstatt ld weiterzurechnen. (Zum Beispiel eine kurze Autoantenne - GP).

Wir betrachten aber nachfolgend die horizontale Drahtantenne, so wie sie sehr oft als "einfache und leicht aufzubauende Antenne" benutzt wird.

Der Schlankheitsgrad der Antenne ist                     (F1)      und Lambda               (F2)

Der Wellenwiderstand des Drahtes ergibt sich aus

                          (F3)          oder                        (F4) 

Der maximale Strom errechnet sich über die Sendeleistung und des Wirkwiderstandes R, der gleich der Summe des Strahlungs- Rw und VerlustwiderstandesRv ist. Bei einem idealen Dipole ist dieser Wert 76.6 Ohm. In der Praxis etwa 60-70 Ohm. Wir rechnen mit 70 Ohm.

 

Die Hälfte des Wertes für den Draht ist dann          

                                                                                               (F5)

Der maximale Antennenstrom ergibt sich aus   

                                                                                                                     (F6)

Der maximale Antennenstrom eines endgespeisten Drahtes ergibt sich aus, da nur der halbe Wirkwiderstand angenommen wird

                                                                                                                    (F6a)

 

Die maximale durchschnittliche Antennenspannung ist dann:                                                   

                                                                                                                          (F7)

 

Imaginäres Rechnen

Hier eine Skizze, wie sich die realen und imaginären Werte zu einander verhalten. Der Winkel bestimmt inwieweit sich der Imaginärteil vom Realteil entfernt. Beim Winkel 0  und 180° ist der Imaginärteil 0. Bei einer Induktivität ist die Spannung um 90° schneller als der Strom. Bei einem Kondensator genau umgekehrt. Das bedeutet, wenn die Antenne induktiv - also zu lang ist, sind beide Zeiger ( a+jb ist dann U und Zeiger jb = I)  im positiven oder beide im negativen. Der Imaginärteil wird positiv. Ist auch nur ein Zeiger anderes gepolt als der andere, dann wird der Imaginärteil negativ. Da ja bekanntlich nach dem Ohmschen Gesetz R = U/I ist wird auch R (Zw) positiv oder negativ.

Wenn der TanPhi positiv ist (0-89.999°, 180-169.9999°, 360°-.... etc), dann ist die Antenne kapazitiv und zu kurz. U ist positiv und I negativ (90 Grad phasenverschoben, Strom kommt aus dem negativen Bereich). DaUmax/Imax=Zw negativ ist wird auch jX zu -jXc.

Wird der TanPhi negativ, dann ist die Antenne zu lang. Umax/Imax=-Zw und  -jX wird jXl also induktiv. Bei 90, 270 (...+180°) Grad etc. herrscht Resonanz und der Imaginärteil ist Null. Die imaginären Anteile von U und I werden addiert und das Ergebnis beschreibt den Aufbau der Antenne (ob kapazitiv oder induktiv). Um die Antenne in Resonanz zu bringen, muss entweder ein C oder L in Reihe geschaltet werden.

        Bild 1

Um nun zu bestimmen ab die Antenne für die Erregerfrequenz kapazitiv oder induktiv ist, benötigen wir die Winkel  Phi  () und dessen Tangens.

Am besten rechnet man im Bogenmass. Dabei sind 360° = 2Pi. Lambdaviertel sind dann  Pi/2 oder 90°. Der Tangents ist bei 90° (+ 180° +180+.... etc.) unendlich gross!

Wirsuchen auf der Gradachse nun den Punkt, wo        Umax/Imax   gleich dem Winkel   Phi         ist.  

Der Winkel Phi ergibt sich durch die Länge des Drahtes im Verhältnis zuLambda der Erregerfrequenz (Sendefrequenz)

                          

                                                                                       (F8) 

 

f  ist die Sendefrequenz in Mhz.

Um zu prüfen ob kapazitive(-j) oder induktive (j)Antenne vorliegt, wird vom Winkel der Tangens errechnet und danach die Impedanz:

                                                                           

                                                                                                                                    (F9)

 

Wird Z nun negativ, haben wir  Z=Xc   also eine kapazitiv belastete Antenne, die nicht in Resonanz ist. Um diese resonant zu machen, benötigen wir eine Reiheninduktivität mit dem gleichen Ohmwert wie Xc. Kein Problem:

                            Xl=Xc                                             Induktivität L:                              (F10)    

f in Hz, Xl in Ohm.

Nun noch die Ankoppelspule errechnen, dann sind wir fertig. Die Anpassung der Widerstände R vom Senderausgang an die Antenne wird mit dem Übertragungsfaktor ermittelt:   ü         (F11)     

dann ist Koppel XL :                                                                 Xl=Rp/ü²        Xlk=50/ü²                   (F12)

 Die Koppelinduktivität ist dann:                                          Lxlk =                                        (F10)

 

Spulenberechnung

Jetzt liegen alle Werte vor, um die Spulenwindungen zu berechnen. Meine selbstentwickelte Formel dafür ist

                                   (F13)

 

oder die bekannte Formel:                                      (F14) 

 

Induktivität nach meiner Formel:         

                                                                    (F15) 

oder die bekannte Formel:                                            (F16)

 

N ist die Windungszahl, d in cm ist der Durchmesser der Spule, l in cm ist die Spulenlänge und L in µH die Induktivität. Der Wicklungsabstand ist ein Drahtdurchmesser. Also 1mm Abstand bei 1mm Drahtdurchmesser. Man sieht es auch in dem Ergebnis Spulenwindungen mal dem zweifachen Drahtdurchmesser ergibt die Spulenlänge.

Da die Länge der Spule bei der ersten Rechnung unbekannt ist, setzt man einen Anfangswert z.B. 3 cm ein und rechnet die Spulenwindungen aus. Nach dem ersten Ergebnis noch einmal rechnen mit einer neuen Länge:  

l  = (N   * Spulendrahtdurchmesser )+ ((N-1) *Wicklungsabstand)                                                          (F17)

l2= (N2* Spulendrahtdurchmesser )+ ((N2-1)*Wicklungsabstand)  usw. bis l4                                                   

Für genaue Rechnung lässt man den Rechner diese Schleife etwa 4 mal durchlaufen. Nun noch die Koppelspule ausrechnen und dann die Antenne anpassen.

 

Induktive Antenne

 

Für den Fall, dass die Antenne Induktiv ist, muss man halt einen Kondensator, der an den Draht am Eingang Reihe angeschlossen wird, ausrechnen, um den induktiven Blindwiderstand zu eliminieren. Natürlich mit den gleichen Formeln.  Nur der Kondensator wird jetzt über den induktiven Blindwiderstand Xc = Xl berechnet wie folgt:

                                                                            (F18)

Neu ist hierbei die Berechnung des Wirkwiderstandes über mehrere Funktionen 6. und 4. Grades. Als Beispiel sei der Bereich von 10 bis 180 Grad hier angegeben. Diese von mir entwickelte Formel lautet:

Rwirk=((0.000120*x^3-0.0045*x^2+0.2*x+0.1)^2)/100                                                                             (F19)

Hierbei ist x der Winkel in Grad. Ist der Wirkwiderstand bestimmt, lässt sich leicht nach den bekannten Transformationsgesetzen ein Anpassnetzwerk berechnen (siehe Grafik rechts am Anfang der Seite). Xc50 und Xl50 sind dabei folgendermassen zu berechnen:

 

                                                                        Xc50 = - Rg*((Rwirk/Rg)-1)^0.5       [Ohm]                       (F20)

                                                                        C50  =  1/-(j*w*Xc50)     [pF]                                            (F21)

                                                                         Xl50 =  Rwirk/(((Rwirk/Rg)-1)^0.5)   [Ohm]                      (F22)

                                                                                                               L50 = Xl50/+(j*w)                                                           (F23)

 

Das w in den Formeln bedeutet Omega = 2*pi*f  und Rg ist die Impedanz der HF-Quelle (52 Ohm). Sind alle Werte bekannt, können die Spulenwindungen, Spulenlänge und Drahtlänge der Spule L50 errechnet werden nach den üblichen Formeln (siehe oben).

Zusammenfassung:

Ist eine Antenne kürzer als Lambda/4 oder Lambda 3/4, 5/4 etc. dann hat sie einen kapazitiven Charakter, der durch eine Spule gleicher Impedanz eliminiert werden muss. Übrig bleibt der Wirkwiderstand, der dann an den TRX angepasst werden muss. Das geschieht über die besagte Induktivität Spule mit 50 Ohm Abgriff oder über ein LC Netzwerk. Es geht auch mit einer Widerstandstransformation eines Anpasstransformators (UnUn), dabei wird auf eine induktive Anpassung verzichtet. Die Antenne ist dann aber NICHT in Resonanz und der Wirkungsgrad ist nicht so gut.

Ist eine Antenne länger als Lambda/4 oder Lambda 3/4, 5/4 etc. dann hat sie einen induktiven Charakter, der durch einen Kondensator gleicher Impedanze eliminiert werden muss. Übrig bleibt der Wirkwiderstand, der dann an den TRX angepasst werden muss. Das geschieht über kapazitive Teilung oder über ein LC Netzwerk. Auch hier geht es mit einer Widerstandstransformation eines Anpasstransformators (UnUn), dabei wird auf eine kapazitive Anpassung verzichtet. Die Antenne ist auch in diesem Fall NICHT in Resonanz und der Wirkungsgrad ist nicht so gut.

DL7AHW

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Hochfrequenztechnik I J. Kammerloher, 1938, 2. Auflage: F0, F1, F4, F5, F7, F8, F9,  Bild1.

Uni Karlruhe Vorlesungsscript "Eingangsimpedanz von Stabantennen (F6.29) von Prof.Dr.Ing. W.Wiesbeck 2005: F3

Allgemeine Hochfrequenztechnik, Physik "Ohmsches Gesetz": F2, F6, F10, F11, F12, F18, F20-23

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Formeln aus MINIRK Wilfried Burmeister DL5SWB: F14, F16

 

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